スルツキー方程式の導出
通常の効用最大化は
なんらかの関数 但しxは財ベクトル
但しpは価格ベクトル、は内積を意味する 不等号ならKKT条件
また、支出最小化を考えると
uは所与
前者の解を需要関数、後者の解を補償需要関数と呼ぶ。(当然hも財ベクトル)
両者の解は最適点で同一、つまり となる(双対性)
この場合、なのでmはとかける
つまり となる
第財価格で偏微分すると
とはベクトルなので、財あるうちの第財について個別に見ると
左辺
※多変数関数の連鎖律
これの第1項について、であるについては定数に対する微分操作になり=0であり、
または当然1なので結局
左辺
これの第2項にあるはシェファードの補題より補償需要関数と等しい
※シェファードの補題:支出関数を価格で微分すると補償需要関数が出てくる
(というかそのように支出関数を定義している、支出関数: )
左辺
右辺と合わせて
右辺第1項は代替効果、第2項は所得効果
例:2財のみでのとき、
効用最大化問題を解くと(中略)
支出最小化を解いても同様に
この時第1財の価格がわずかに上昇した時の代替効果と所得効果はそれぞれいくらか
にあてはめていくと
というわけで代替効果-3/4、所得効果は-3/4
全部効果はであり整合的
ちなみにこの第1財は両効果とも負なので正常財
合っとるかは知らん