無機野

ここはお前の日記帳

スルツキー方程式の導出

通常の効用最大化は
\displaystyle \max~~u(\vec{x})=なんらかの関数 但しxは財ベクトル
\displaystyle s.t.~~\vec{p}\cdot\vec{x}=m 但しpは価格ベクトル、\displaystyle \vec{p}・\vec{x}内積を意味する 不等号ならKKT条件
また、支出最小化を考えると
\displaystyle \min~~m=\vec{p}・\vec{x}
\displaystyle s.t.~~u(\vec{x})=u uは所与
前者の解を需要関数\displaystyle \vec{x}(\vec{p},m)、後者の解を補償需要関数\displaystyle \vec{h}(\vec{p},u)と呼ぶ。(当然hも財ベクトル)
両者の解は最適点で同一、つまり \displaystyle \vec{x}(\vec{p},m)=\vec{h}(\vec{p},u) となる(双対性)
この場合、\displaystyle m=\vec{p}\cdot\vec{x}(\vec{p},m)=\vec{p}\cdot\vec{h}(\vec{p},u)なのでmは\displaystyle m(\vec{p},u)とかける
つまり \displaystyle \vec{x}(\vec{p},m(\vec{p},u))=\vec{h}(\vec{p},u) となる
\displaystyle i財価格\displaystyle p_i偏微分すると
\displaystyle \frac{∂\vec{x}(\vec{p},m(\vec{p},u))}{∂p_i}=\frac{∂\vec{h}(\vec{p},u)}{∂p_i}
\displaystyle \vec{x}\displaystyle \vec{h}はベクトルなので、\displaystyle N財あるうちの第\displaystyle i財について個別に見ると
\displaystyle \frac{∂x_i(\vec{p},m(\vec{p},u))}{∂p_i}=\frac{∂h_i(\vec{p},u)}{∂p_i}
左辺\displaystyle =\sum_{j=1}^{J}\frac{∂x_i}{∂p_j}\frac{dp_j}{dp_i}+\frac{∂x_i}{∂m}\frac{∂m}{∂p_i}
※多変数関数の連鎖律 \displaystyle \frac{d}{dx}f(g(x),h(x))=\frac{∂f}{∂g}\frac{dg}{dx}+\frac{∂f}{∂h}\frac{dh}{dx}
これの第1項について、\displaystyle j≠iである\displaystyle \frac{dp_j}{dp_i}については定数に対する微分操作になり=0であり、
また\displaystyle \frac{dp_i}{dp_i}は当然1なので結局
左辺\displaystyle =\frac{∂x_i}{∂p_i}+\frac{∂x_i}{∂m}\frac{∂m}{∂p_i}
これの第2項にある\displaystyle \frac{∂m}{∂p_i}はシェファードの補題より補償需要関数\displaystyle h_i(\vec{p},u)と等しい
※シェファードの補題:支出関数を価格で微分すると補償需要関数が出てくる
(というかそのように支出関数を定義している、支出関数:\displaystyle m(\vec{p},u)=\vec{p}\cdot \vec{h}(\vec{p},u) )
左辺\displaystyle =\frac{∂x_i}{∂p_i}+\frac{∂x_i}{∂m}h_i(\vec{p},u)
右辺と合わせて
\displaystyle \frac{∂x_i}{∂p_i}=\frac{∂h_i}{∂p_i}-\frac{∂x_i}{∂m}h_i(\vec{p},u)
右辺第1項は代替効果、第2項は所得効果

例:2財のみで\displaystyle p_1=20、p_2=30、u(x_1,x_2)=x_1*x_2、m=1200のとき、
効用最大化問題を解くと(中略)\displaystyle x_1=30、x_2=20、u=600
支出最小化を解いても同様に\displaystyle h_1=30、h_2=20
この時第1財の価格がわずかに上昇した時の代替効果と所得効果はそれぞれいくらか
\displaystyle \frac{∂x_1}{∂p_1}=\frac{∂h_1}{∂p_1}-\frac{∂x_1}{∂m}h_1 にあてはめていくと
\displaystyle h_i(p_1,p_2,u):h_1=(\frac{p_2 u}{p_1})^{\frac{1}{2}}
\displaystyle \frac{∂h_1}{∂p_1}=-\frac{1}{2}(p_2 u)^{\frac{1}{2}}p_1^{-\frac{3}{2}}=-\frac{3}{4}
\displaystyle x_1(p_1,p_2,m):x_1=\frac{m}{2p_1}
\displaystyle \frac{∂x_1}{∂m}=\frac{1}{2p_1}
\displaystyle \frac{∂x_1}{∂m}h_1(p_1,p_2,u)=3/4
というわけで代替効果-3/4、所得効果は-3/4
全部効果は\displaystyle \frac{∂x_1}{∂p_1}=-\frac{m}{2}p_1^{-2}=-\frac{3}{2}であり整合的
ちなみにこの第1財は両効果とも負なので正常財
合っとるかは知らん